【公立上位高志望】　数学の応用問題を攻略するトレーニング【第３回】

前回はゴールから逆算してスタート地点までを繋ぐ【STEP１】マッピングについて考えてみました。

「地図を描いただけでは、まだ現地に道路（計算）は開通していない」とお伝えしましたね。

いよいよ今回は、前回の地図をもとに現地に道路を開通させる【解法プレビュー】をお届けします。

本格的な【STEP２】モデリング（計算手順の自動化）へ入る前に、まずは完成した道路を走るとどんな景色が見えるのか、その先取り体験をしてみましょう。

数学の応用問題の正解へのルートは一つだけとは限りませんが、今回はどんな難問にも応用できる「強力な王道ルート」の各ステップの結論だけをギュッと要約し、一本の論理の筋道としてご紹介します。

ぜひ手元のノートと照らし合わせながら、「まずは全体の地図を頭に入れる」という感覚で、一緒にルートを辿ってみましょう。

なお、「どうやってミスなく解くか」という具体的な計算手順（モデル）の構築は、次回のモデリングの領域になります。今回は全体のストーリーを掴むため、各ステップの「結果」ベースでサクサク進めていきますね。

🛠️本編例題の解法プレビュー

💡前回の例題

３直線y=x+4･･･①，y=-x+4･･･②，y=7x-44･･･③がある。①と②の交点をＡ、②と③の交点をＢ、①と③の交点をＣとする△ABCにおいて、辺ＡＣ上の点Ｐ(6, 10)を通り、△ABCの面積を二等分する直線の式を求めよ。

👉【プロセス0】 連立方程式で3頂点の座標をガチッと固める

スタート地点です。

まずは3つの直線の式を連立させて、それぞれの交点の座標を計算します。

①と②を連立 ➔ 点A(0, 4)

②と③を連立 ➔ 点B(6, -2)

①と③を連立 ➔ 点C(8, 12)

これで、すべての作戦を立てるための「土台（座標）」が揃いました。

👉【プロセス1】 直線BPを引いて△ABPと△CBPをつくる

まずは状況を分析するための補助線として、頂点Bと点P(6, 10)を結ぶ直線BPを引きます。

これで、元の△ABCが「△ABP」と「△CBP」の2つに切り分けられました。

👉【プロセス2】 △ABPと△CBPの面積比を出す

ここで、点Pが辺ACを分ける比率に注目します。

3つの点A、P、Cの座標から比率を計算すると、AP：PC＝3：1 になっていることが分かります。

「底辺の比=面積の比」になるため、△ABP：△CBP=3 : 1

👉【プロセス3】 面積ノルマから、辺ABを分ける点Qの座標を出す

元の△ABCの面積を3+1=4とすると、今回のノルマである半分（2等分）の面積は「2」です。

右側の△CBPは面積「1」しかないので、ノルマの「2」に届きません。ということは、求める直線は絶対に左側の大きな△ABP（面積3）を切り裂く、つまり「辺AB」を通ることになります。

この「面積を2にする」というノルマを満たすために、辺ABを何対何に分ければよいかを計算すると、辺ABをA側から2 : 1に分ける場所に点Qを置けばよいことが分かります。

線分ABを2：1に分ける点の座標を計算すると、点Q(4, 0) が導き出せます。

👉【プロセス4】 2つの点から直線の式を出す

ゴールに到着です！

通る2つの点、P(6, 10)とQ(4, 0)が完全に揃いました。

この2点を通る直線式はy=5x–20（5x-y=20）です。

◇

今回の解法例を通して、事前にマッピングを行っておくことで、提示された各プロセスの結論が迷子にならず、ゴールまで完全に連動して一本の道に繋がっていくことを確認できたかと思います。

初見の難問を前にしたとき、がむしゃらに手を動かさずに、まずは頭の中にルートを組み立てるマッピング。この視点を持つだけで、フリーズする回数は劇的に減るはずです。

――さて、これで「地図を使って難問を紐解くイメージ」が、少しずつ見えてきたでしょうか。

「ルートの繋がりは分かった。じゃあ、まだ語られていない各プロセスの『具体的な細かい計算の手順』は、どうやって処理していけばいいの？」

それでは、また近いうちに、その疑問を解決する次のステップ【STEP２】モデリングでお会いしましょうね。

（第３回・完）